Question

设数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c为实数，且c 0.

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设求数列｛b_n｝的前n项和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意N*成立，证明0＜c1.

Answer 1

本题主要考查数列的概念，数列通项公式的求法以及不等式的证明等；考查运算能力，综合运用知识解决问题的能力.

解 (1) 方法一：

      

       当时，是首项为，公比为的等比数列。

      ，即 。当时，仍满足上式。

      数列的通项公式为 。

方法二

由题设得：

n≥2时，

时，也满足上式。

数列的通项公式为 。

     (2)    由（1）得

          

 

(3)       证明：由（1）知

若，则

  

由对任意成立，知。下证，用反证法

方法一：假设，由函数的函数图象知，当趋于无穷大时，趋于无穷大

不能对恒成立，导致矛盾。。

方法二：假设，，

即  恒成立    （＊）

为常数， （＊）式对不能恒成立，导致矛盾，