Question

已知f（x）=log_ax，g（x）=2log_a（2x+t-2）（a＞0，a≠1，t∈R）．
（1）当t=5时，求函数g（x）图象过的定点；
（2）当t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2时，求a的值；
（3）当0＜a＜1，x∈[1，2]时，有f（x）≥g（x）恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=5时，g（x）=2log_a（2x+3）令2x+3=1，求得定点横坐标．
（2）求得F(x)=loga[4(x+

1

x

)+8]，利用基本不等式求得4(x+

1

x

)+8∈[16，18]，再分若a＞1，0＜a＜1列出相应的方程并求解．
（3）由已知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)在x∈[1，2]时恒成立．0＜a＜1，转化为

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]时恒成立．

解答：（本小题满分10分）
解：（1）当t=5时，g（x）=2log_a（2x+3）（a＞0，a≠1，t∈R），
∴g（x）图象必过定点（-1，0）．…（1分）
（2）当t=4时，F(x)=g(x)-f(x)=2loga(2x+2)-logax=loga

(2x+2)2

x

=loga[4(x+

1

x

)+8]
当x∈[1，2]时，4(x+

1

x

)+8∈[16，18]，
若a＞1，则F（x）_min=log_a16=2，解得a=4或a=-4（舍去）；
若0＜a＜1，则F（x）_min=log_a18=2，解得a=3

2

（舍去）．故a=4．…（5分）
（3）转化为二次函数在某区间上最值问题．由题意知，

1

2

logax≥loga(2x+t-2)在x∈[1，2]时恒成立，
∵0＜a＜1，∴

x

≤2x+t-2在x∈[1，2]时恒成立，…（7分）
t≥-2x+

x

+2=-2(

x

-

1

4

)2+

17

8

在x∈[1，2]时恒成立，∴t≥1．
故实数t的取值范围[1，+∞）．     …（10分）

点评：本题考查对数函数的图象与性质，考查转化、计算能力．