Question

已知函数f（x）=x²-2x．
（1）用函数的单调性定义在证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；
（2）求函数f（x）在[-1，5]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵函数f（x）=x²-2x，设x₂＞x₁≥1，f（x₂）-f（x₁）=（-2x₂）-（-2x₁）=（x₂+x₁）（x₂-x₁）-2（x₂-x₁）=（x₂-x₁）（x₂+x₁-2），
而由题设可知x₂-x₁＞0，x₂+x₁-2＞0，
∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故函数f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由于二次函数函数f（x）=x²-2x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，
∴在[-1，5]上，
当x=5时，f（x）_max=f（5）=15；
当x=1时，f（x）_min=f（1）=-1．
分析：（1）根据函数f（x）=x²-2x，利用函数的单调性的定义证明f（x）在[1，+∞）上是增函数．
（2）由于二次函数函数f（x）=x²-2x 的图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=1，故在[-1，5]上，f（x）_max=f（5），f（x）_min=f（1），运算求得结果．
点评：本题主要考查函数的单调性的定义及证明方法，二次函数的性质，求二次函数在闭区间上的最值，属于基础题．