Question

下列命题：
（1）若函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为偶函数，则a=1；
（2）函数f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

；
（3）方程log₆x=cosx有且只有三个实数根；
（4）对于函数f（x）=x²，若0＜x1＜x2，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
以上命题为真命题的是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：判断a=1时，函数f(x)=lg(x+

x2+a

)的奇偶性，可判断（1）；求出函数f（x）=|sin2x|的周期，可判断（2）；数形结合，分析方程log₆x=cosx根的个数，可判断③；判断函数f（x）=x²的凸凹性，可判断（4）

解答： 解：（1）当a=1时，f(x)=lg(x+

x2+1

)的定义域R关于原点对称，
且f（-x）+f（x）=lg(-x+

x2+1

)+lg(x+

x2+1

)=lg[(

x2+1

)2-x2]=lg1=0，
故此时函数f(x)=lg(x+

x2+a

)为奇函数，故（1）错误；
函数y=sin2x的周期T=π，纵向对折变换后函数f（x）=|sin2x|的周期T=

π

2

，故（2）正确；
作出y=log₆x与y=cosx的图象，如下图所示：

由两个函数图象有且只有三个交点，可得方程log₆x=cosx有且只有三个实数根，故（3）正确；
∵函数f（x）=x²是凹函数，∴在0＜x₁＜x₂，则0＜x1＜x2，则f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，故（4）正确；
故真命题是：（2）（3）（4），
故答案为：（2）（3）（4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判定，同时考查了函数的一些性质，注意数形结合的方法．