Question

定义在R上的函数f（x）＞0时，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）在R上为单调递增函数．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,抽象函数及其应用,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）令y=0得代入可得f（x）=f（x）•f（0），从而求解f（0）=1；
（2）利用定义法，结合对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）•f（y）及当x＞0时，f（x）＞1证明．

解答： 解：（1）令y=0得，f（x）=f（x）•f（0）；
故f（0）=1；
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-f（x₁+x₂-x₁）
=f（x₁）-f（x₁）f（x₂-x₁）
=f（x₁）（1-f（x₂-x₁））
∵f（x）＞0，又∵当x＞0时，f（x）＞1；
∴f（x₁）（1-f（x₂-x₁））＜0；
故f（x₁）-f（x₂）＜0；
故f（x）在R上为单调递增函数．

点评：本题考查了抽象函数的应用，同时考查了学生对新定义的接受能力，属于中档题．