Question

11．已知复数z满足z³=1，且z的虚部为sin60°．
（1）求复数z；
（2）设z，z²，z+z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）设z=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，a∈R，运用复数的乘方运算，结合复数相等的条件，解方程可得a，进而得到所求复数；
（2）求得z²，z+z²表示的复数，可得点A，B，C，再由三角形的面积公式计算即可得到所求面积．

解答 解：（1）z³=1，且z的虚部为sin60°，
可设z=a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，a∈R，
则（a+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=a³+3a²•$\frac{\sqrt{3}}{2}$i+3a•（$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$i）³=1，
化简可得a³-$\frac{9}{4}$a+i（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$）=1，
则a³-$\frac{9}{4}$a=1，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$a²-$\frac{3\sqrt{3}}{8}$=0，
解得a=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$舍去），
则z=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i；
（2）由z=-$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，可得z²=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$i，
z+z²=-1，
设z，z²，z+z²在复平面上的对应点分别为A，B，C，
即有A（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$i），B（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（-1，0），
即有△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•|AB|•（-$\frac{1}{2}$+1）=$\frac{1}{4}$×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．