Question

12．设S_n为正项数列{a_n}的前n项和，a₁=2，S_n+1（S_n+1-2S_n+1）=3S_n（S_n+1），则a₁₀₀等于（　　）

• A． 2×3⁹⁸
• B． 4×3⁹⁸
• C． 2×3⁹⁹
• D． 4×3⁹⁹

Answer 1

分析 由题意结合因式分解可得（S_n+1-3S_n）（S_n+1+S_n+1）=0，即有S_n+1=3S_n，运用等比数列的通项公式和数列的递推式，即可得到所求值．

解答 解：S_n为正项数列{a_n}的前n项和，a₁=2，S_n+1（S_n+1-2S_n+1）=3S_n（S_n+1），
可得S_n+1²-2S_n+1S_n-3S_n²+S_n+1-3S_n=0，
即有（S_n+1-3S_n）（S_n+1+S_n）+（S_n+1-3S_n）=0，
即为（S_n+1-3S_n）（S_n+1+S_n+1）=0，
即有S_n+1=3S_n，
数列{S_n}为等比数列，首项为2，公比为3，
可得S_n=2×3^n-1，
则a₁₀₀=S₁₀₀-S₉₉=2×3⁹⁹-2×3⁹⁸
=4×3⁹⁸．
故选：B．

点评 本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的通项公式的运用，考查变形及化简整理的运算能力，属于中档题．