Question

【题目】设函数f（x）为R上的奇函数，已知当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2 ． （Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）为R上的奇函数，

∴f（0）=0，

若x＜0，则﹣x＞0，

∵当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2．

∴当﹣x＞0时，f（﹣x）=﹣（﹣x+1）2=﹣（x﹣1）2．

∵f（x）是奇函数，

∴f（﹣x）=﹣（x﹣1）2=﹣f（x），

则f（x）=（x﹣1）2，x＜0，

则函数f（x）的解析式f（x）= ；

（Ⅱ）若f（m2+2m）+f（m）＞0，

则f（m2+2m）＞﹣f（m）=f（﹣m），

当x＞0时，f（x）=﹣（x+1）2为减函数，且f（x）＜﹣1＜f（0），

当x＜0时，f（x）=（x﹣1）2为减函数，且f（x）＞1＞f（0），

则函数f（x）在R上是减函数，

则m2+2m＜﹣m，

即m2+3m＜0，

则﹣3＜m＜0，

即m的取值范围是（﹣3，0）．

【解析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．（Ⅱ）根据条件判断函数的单调性，利用函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可．
【考点精析】本题主要考查了函数奇偶性的性质的相关知识点，需要掌握在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇才能正确解答此题．