Question

【题目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ADC=120°，AA1=AB=1，点O1、O分别是上下底菱形对角线的交点．
（1）求证：A1O∥平面CB1D1；
（2）求点O到平面CB1D1的距离．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OA和CO，

在四边形OCOA中，OC∥AO且AO=OC，

∴四边形AOCO为平行四边形，

∴AO∥OC

又OC平面CBD，AO平面CBD，

∴AO∥平面CBD

（2）解：由直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，可得B1D1⊥平面O1OC，

∵B1D1平面CB1D1，

∴平面CB1D1⊥平面O1OC，

设点O到平面CB1D1的距离为h，则△O1OC中，OC= ，O1O=1，

∴O1C= = ，

由等面积可得h= = ，

∴点O到平面CB1D1的距离为 ．

【解析】（1）连结OA和CO，证明四边形AOCO为平行四边形，可得AO∥OC，利用线面平行的判定定理证明A1O∥平面CB1D1；（2）先证明出平面CB1D1⊥平面O1OC，利用等面积求点O到平面CB1D1的距离．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．