Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．

∴抛物线C的方程为：y2=4x

（2）解：F（1，0）．

设M（x1，y1），N（x2，y2）．

直线l的方程为：y=x﹣1．

联立 ，

化为x2﹣6x+1=0，

∴x1+x2=6，x1x2=1．

∴|MN|= = =8．

原点O到直线MN的距离d= ．

∴△OMN的面积S= = =2

【解析】（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出．（2）F（1，0）．设M（x1 ， y1），N（x2 ， y2）．直线l的方程为：y=x﹣1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得：|MN|= ．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积S= 即可得出．