Question

16、定义在（-∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，下面是关于f（x）的判断：①f（x）是周期函数；②f（x）的图象关于直线x=1对称；③f（x）在[0，1]上是增函数；④f（2）=f（0）．
其中正确的判断是

①②④

（把你认为正确的判断都填上）．

Answer 1

分析：由题意求出函数的周期，判断①，推导④，利用周期对称性，判断②，判断③，即可确定正确结果．

解答：解：f（x）是定义在R上的偶函数，f（x）关于y轴对称
f（-x）=f（x）
又f（x+1）=-f（x）
f（x+2）=f（x+1+1）=-f（x+1）=f（x）
所以2为f（x）的一个周期
①f（x）关于x=2对称，正确
②2为f（x）的一个周期，f（x）在[-1，0]上是增函数，在（-∞，+∞）上的偶函数f（x），f（x）的图象关于直线x=1对称，正确．
③f（x）在区间[-1，0]上为增函数，f（x）关于y轴对称，所以f（x）在[0，1]上是减函数，错误．
④f（4）=f（2）=f（0）正确．
故答案为：①②④

点评：本题考查函数的周期性，函数单调性的判断与证明，函数的值，考查分析问题解决问题的能力．