Question

设命题p：?x₀∈R，x₀²-2ax₀+2-a=0，命题q：?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1），如果命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：首先考虑p真，q真分别求出等价结论，然后由p或q真，说明p，q中至少有一个真，p且q假，说明p，q中至少有一个为假，从而p，q中一真一假，列出不等式组，解出它们，即得实数a的取值范围．

解答：解：当命题p为真时，则方程x²-2ax+2-a=0有实根，
即△=4a²-4（2-a）≥0⇒a≥1或a≤-2，
当q为真时，即?x∈[1，+∞），a≤log₁₆（3x+1）恒成立，
由于f（x）=log₁₆（3x+1）在[1，+∞）上是增函数，
所以f（x）的最小值是log₁₆（3×1+1）=

1

2

，
又a≤log₁₆（3x+1）恒成立?a≤f（x）_min所以a≤

1

2

，
因为命题p∨q为真命题，命题p∧q为假命题，从而p，q中一真一假．
当p真q假时即

a≥1或a≤-2 a＞ 1 2

⇒a≥1；
当p假q真时即

-2＜a＜1 a≤ 1 2

_⇒-2＜a≤

1

2

．
综上a≥1或-2＜a≤

1

2

故实数a的取值范围是a≥1或-2＜a≤

1

2

．

点评：本题主要考查复合命题的真假，一元二次方程有实数解的条件和一元二次不等式的解法，同时考查对数函数的单调性以及a＜f（x）恒成立等价于a＜f（x）的最小值，是一道代数综合题，考查推理和解不等式的能力，属于中档题．