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已知函数f(x)=
ax2+2x+1 , x≥0 
-x2+bx+c , x<0 
是偶函数,直线y=t与函数f(x)的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D,若|AB|=|BC|,则实数t的值为
 
分析:根据函数f(x)是偶函数,得到a,b,c的值,然后根据二次函数的图象的对称性,解出A,B,C,D的坐标,利用|AB|=|BC|,即可求出实数t的值.
解答:解:∵函数f(x)是偶函数,
∴f(-x)=f(x),
当x<0时,-x>0,
即f(-x)=ax2-2x+1=-x2+bx+c,
∴a=-1,b=-2,c=1,
即f(x)=
-x2+2x+1,x≥0
-x2-2x+1,x<0

作出函数f(x)的图象如图:精英家教网
直线y=t与函数f(x)的图象自左至右依次交于四个不同点A、B、C、D,
不妨是对应的横坐标分别为a,b,c,d,
则A,B关于x=-1对称,即
a+b
2
=-1
,①
∵函数是偶函数,∴c=-b,d=-a,
若|AB|=|BC|,
则B是A,B的中点,
a+c
2
=
a-b
2
=b
,②,
解得a=3b,代入①
解得b=-
1
2
,a=-
3
2

当b=-
1
2
,时f(b)=f(-
1
2
)=-(-
1
2
2-2(-
1
2
)+1=2-
1
4
=
7
4

即t=
7
4

故答案为:
7
4
点评:本题主要考查函数奇偶性的应用,以及二次函数的图象和性质,利用数形结合是解决本题的关键,考查中点坐标公式,综合性较强.
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12x+1

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已知函数f(x)=a-
1
2x+1
,若f(x)为奇函数,则a=(  )
A、
1
2
B、2
C、
1
3
D、3

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已知函数f(x)=
a(x-1)x2
,其中a>0.
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(III)设g(x)=xlnx-x2f(x),求g(x)在区间[1,e]上的最小值.(其中e为自然对数的底数)

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已知函数f(x)=a-
12x-1
,(a∈R)
(1)求f(x)的定义域;
(2)若f(x)为奇函数,求a的值;
(3)考察f(x)在定义域上单调性的情况,并证明你的结论.

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