Question

15．已知函数f（x）=λ₁（$\frac{a}{3}{x}^{3}$+$\frac{b-1}{2}$x²+x）+λ₂x•3^x，（a，b∈R且a＞0）．
（1）当λ₁=1，λ₂=0时，若已知x₁，x₂是函数f（x）的两个极值点，且满足：x₁＜1＜x₂＜2，求证：f′（-1）＞3；
（2）当λ₁=0，λ₂=1时，
①求实数y=f（x）-3（1+ln3）x（x＞0）的最小值；
②对于任意正实数a，b，c，当a+b+c=3时，求证：a•3^a+b•3^b+c•3^c≥9．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到关于a，b的不等式组，解出即可；
（2）①求出f（x），得到关于y的表达式，求出y′，求出函数的单调区间，从而求出其最小值即可；②根据x•3^x≥3（1+ln3）x-3ln3，当x分别取a，b，c，相加即可证明．

解答 解：（1）当λ₁=1，λ₂=0时，f′（x）=ax²+（b-1）x+1，
已知x₁，x₂是函数f（x）两个极值点，则x₁，x₂是方程f′（x）=0的两根，
由a＞0，x₁＜1＜x₂＜2，∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）＜0}\\{f′（2）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a+b＜0}\\{4a+2b-1＞0}\end{array}\right.$，
∴f′（-1）=a-b+2=-3（a+b）+（4a+2b-1）+3＞3…（4分）．
（2）①当λ₁=0，λ₂=1时，f（x）=x•3^x，得y=x•3^x-3（1+ln3）x，
则：y′=3^x（xlnx+1）-3（ln3+1），
令：g（x）=3^x（xlnx+1）-3（ln3+1），g′（x）＞0，（x＞0），所以y′是（0，+∞）增函数，
且x=1是它的一个零点，也是唯一的一个零点，
所以：当0＜x＜1时，y′＜0，当x＞1时，y′＞0，
∴当x=1时，y═x•3^x-3（1+ln3）x有最小值为-3ln3…（8分）
②由①知：x•3^x≥3（1+ln3）x-3ln3，当x分别取a，b，c时有
a•3^a≥3（1+ln3）a-3ln3，
b•3^b≥3（1+ln3）b-3ln3
c•3^c≥3（1+ln3）c-3ln3，
又a+b+c=3，所以三式相加即得a•3^a+b•3^b+c•3^c≥9．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．