Question

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-

3

cos(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜

π

2

)，其中图象上相邻的两个最低点之间的距离为π，且x=0为该图象的一条对称轴，则（　　）

• A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数
• B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数
• C．f（x）的最小正周期为π，且在(0，

  π

  2

  )上为单调递增函数
• D．f（x）的最小正周期为π，且在(0，

  π

  2

  )上为单调递减函数

Answer 1

分析：由题意利用三角函数的周期公式，算出ω=2．根据辅助角公式化简得f（x）=2sin（2x+φ-

π

3

），利用正弦函数对称轴方程的公式建立关系式解出φ=-

π

6

，从而得到f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x．最后根据余弦函数的图象与性质，得到函数f（x）的单调区间，进而得出f（x）在区间(0，

π

2

)上的单调性．

解答：解：∵函数图象上相邻的两个最低点之间的距离为π，
∴函数的周期T=

2π

ω

=π，解得ω=2，
由此可得f(x)=sin(2x+φ)-

3

cos(2x+φ)=2sin（2x+φ-

π

3

），
令2x+φ-

π

3

=

π

2

+kπ（k∈Z），解得x=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），
∴函数图象的对称轴方程为x=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），
∵x=0为该图象的一条对称轴，
∴0=

5π

12

-

1

2

φ+

1

2

kπ（k∈Z），解得

1

2

φ=

5π

12

+

1

2

kπ（k∈Z），
又∵|φ|＜

π

2

，∴取k=-1得φ=-

π

6

．
因此，函数的表达式为f（x）=2sin（2x-

π

2

）=-2cos2x，
∴f（x）的增区间是[mπ，

π

2

+mπ]（m∈Z），减区间是[-

π

2

+mπ，mπ]（m∈Z）．
取m=0得[0，

π

2

]是函数f（x）的一个增区间；[-

π

2

，0]是函数f（x）的一个减区间．
综上所述，f（x）的最小正周期为π，且在(0，

π

2

)上为单调递增函数．
故选：C

点评：本题给出三角函数的图象满足的条件，求函数的周期性与区间(0，

π

2

)上的单调性．着重考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换与函数的单调性等知识，属于中档题．