Question

1．已知函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+c}$是奇函数，且f（1）=5．
（1）求f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（0，2]是减函数，在（2，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）利用奇函数的定义求出c，利用f（1）=5，求出a，即可求f（x）的解析式；
（2）利用导数的正负证明函数的单调性．

解答 （1）解：∵函数f（x）=$\frac{a{x}^{2}+4}{x+c}$是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴$\frac{a{x}^{2}+4}{-x+c}$=-$\frac{a{x}^{2}+4}{x+c}$，
∴c=0，
∵f（1）=5，
∴a+4=5，
∴a=1，
∴f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$；
（2）证明：∵f（x）=$\frac{{x}^{2}+4}{x}$=x+$\frac{4}{x}$，
∴f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$
由x∈（0，2]，可得f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＜0，x＞2，f′（x）=1-$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
∴f（x）在（0，2]是减函数，在（2，+∞）上是增函数．

点评 本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数解析式的确定，正确求出函数的解析式是关键．