Question

（1）已知角α终边上一点P（-4a，3a），a≠0，求

cos( π 2 +α)sin(-π-α)

cos( 11π 2 -α)sin( 9π 2 +α)

的值．
（2）已知sinα•cosα＞0，且sinα•tanα＞0，化简：cos

α

2

•

1-sin α 2 1+sin α 2

+cos

α

2

•

1+sin α 2 1-sin α 2

．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据P坐标，利用任意角三角函数定义求出sinα与cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系化简后，将tanα的值代入计算即可求出值；
（2）根据已知两不等式确定出α为第一象限角，可得出

α

2

为第一或第三象限角，原式变形后计算即可确定出值．

解答： 解：（1）∵角α终边上一点P（-4a，3a），a≠0，
∴若a＞0时，sinα=

3a

(-4a)2+(3a)2

=

3

5

，cosα=

-4a

(-4a)2+(3a)2

=-

4

5

，此时tanα=-

3

4

；
若a＜0时，sinα=-

3

5

，cosα=

4

5

，此时tanα=-

3

4

，
则原式=

-sinαsinα

-sinαcosα

=tanα=-

3

4

；
（2）∵sinα•cosα＞0，且sinα•tanα＞0，
∴α在第一或第三象限，且α在第一或第四象限，
∴α在第一象限，

α

2

在第一象限或第三象限，
当

α

2

第一象限，即cos

α

2

＞0，1-sin

α

2

＞0，1+sin

α

2

＞0时，原式=cos

α

2

•

(1-sin α 2 )2 (1+sin α 2 )(1-sin α 2 )

+cos

α

2

•

(1+sin α 2 )2 (1+sin α 2 )(1-sin α 2 )

=1-sin

α

2

+1+sin

α

2

=2；
当

α

2

第三象限，即cos

α

2

＜0，1-sin

α

2

＞0，1+sin

α

2

＞0时，原式=cos

α

2

•

(1-sin α 2 )2 (1+sin α 2 )(1-sin α 2 )

+cos

α

2

•

(1+sin α 2 )2 (1+sin α 2 )(1-sin α 2 )

=-1+sin

α

2

-1-sin

α

2

=-2．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．