Question

3．设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^x-1，记g（x）=f（x）-log_a（x+2）（其中a＞0，a≠1），试讨论函数g（x）在区间（-2，6]上零点的个数．

Answer 1

分析 由f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2+x）=f（2-x），推出函数f（x）是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间（-2，6]上函数f（x）和y=log_a（x+2）的图象，注意对a讨论，分a＞1，0＜a＜1，结合图象即可得到结论．

解答 解：∵设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（2-x）=f（2+x），
∴且f（2-x）=f（2+x）=f（x-2），
即f（4+x）=f（x），
∴f（x）的周期为4，
若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]时，
即f（-x）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^-x-1=f（x），
∴f（x）=（$\sqrt{2}$）^x-1，x∈[0，2]，
由g（x）=f（x）-log_a（x+2）=0得f（x）=log_a（x+2），
作出函数f（x）在区间[-2，6]上图象如图：
若0＜a＜1，
∵f（-2）=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）^-2-1=2-1=1，当x→-2时，g（x）→+∞，
∴此时两个函数有一个交点，即函数g（x）有一个零点，
若a＞1，∵f（2）=f（6）=1，
设h（x）=log_a（x+2），则h（2）=log_a4，h（6）=log_a8，
当h（2）＞1，即log_a4＞1，得1＜a＜4时，两个函数有一个交点，此时函数g（x）有一个零点，
当h（2）=1，即log_a4=1，得a=4时，两个函数有2个交点，此时函数g（x）有2个零点，
当$\left\{\begin{array}{l}{h（2）＜1}\\{h（6）＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4＜1}\\{lo{g}_{a}8＞1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞4}\\{1＜a＜8}\end{array}\right.$即4＜a＜8时，两个函数有3个交点，此时函数g（x）有3个零点，
当h（6）≤1，即log_a8≤1，即a≥8时，两个函数有4个交点，此时函数g（x）有4个零点．

点评 本题主要考查函数与方程的应用，以及函数零点个数的判断，利用函数的奇偶性和周期性，作出是f（x）的图象，同时结合数形结合以及分类讨论的数学思想方法，转化为不等式求解是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．