Question

【题目】已知抛物线的焦点也是椭圆的一个焦点，与的公共弦的长为.

（1）求的方程；

（2）过点的直线与相交于，两点，与相交于，两点，且与同向

（ⅰ）若，求直线的斜率

（ⅱ）设在点处的切线与轴的交点为，证明：直线绕点旋转时，总是钝角三角形

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i），（ii）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件可求得的焦点坐标为，再利用公共弦长为即可求解；（2）（i）设直线的斜率为，则的方程为，由得，根据条件可知，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii）根据条件可说明，因此是锐角，从而是钝角，即可得证

试题解析：（1）由：知其焦点的坐标为，∵也是椭圆的一焦点，

∴ ①，又与的公共弦的长为，与都关于轴对称，且的方程为，由此易知与的公共点的坐标为，∴②，联立①，②，得，，故的方程为；（2）如图，，，，，

（i）∵与同向，且，∴，从而，即，于是③，设直线的斜率为，则的方程为，由得，而，是这个方程的两根，∴，④，由得，而，是这个方程的两根，∴，⑤，将④⑤带入③，得，即，

∴，解得，即直线的斜率为.

（ii）由得，∴在点处的切线方程为，即

，令，得，即，∴，而，于是

，因此是锐角，从而是钝角.，故直线绕点旋转时，总是钝角三角形.