Question

【题目】已知函数f（x）=log2（1+x）﹣log2（1﹣x），g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）．
（1）判断函数f（x）奇偶性并证明；
（2）判断函数f（x）单调性并用单调性定义证明；
（3）求函数g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），关于原点对称

f（﹣x）=﹣f（x）∴f（x）为（﹣1，1）上的奇函数

（2）解：设﹣1＜x1＜x2＜1，

则 = ，

又﹣1＜x1＜x2＜1∴（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）=2（x1﹣x2）＜0

即0＜（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），

∴ ，

∴ ，

∴f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣1，1）上单调递增

（3）解：由 得 ，即﹣1＜x＜1，即函数的定义域为（﹣1，1），

则g（x）=log2（1+x）+log2（1﹣x）=g（x）=log2[（1+x）（1﹣x）]=log2（1﹣x2）≤log21=0，

即g（x）的值域为（﹣∞，0]

【解析】（1）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）奇偶性并证明；（2）根据函数单调性的定义即可判断函数f（x）单调性并用单调性定义证明；（3）根据函数奇偶性和单调性的关系即可求函数g（x）的值域．
【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．