Question

已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为. 不过点的动直线交椭圆于,两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)证明,两点的横坐标的平方和为定值；

(3)过点,,的动圆记为圆，动圆过不同于的定点，请求出该定点坐标.

Answer 1

解：（1）设椭圆的标准方程为.由题意得.……2分

, , ………………3分 

 椭圆的标准方程为.…………4分

（2）证明：设点 将带入椭圆，化简得：

∴………6分 

,                         

∴P,Q两点的横坐标的平方和为定值4. ………………7分

（3）(法一)设圆的一般方程为:,则圆心为（）,

PQ中点M(),  PQ的垂直平分线的方程为:, ………………8分

圆心（）满足，所以,………9分

圆过定点(2,0)，所以,………………10分

圆过, 则 两式相加得：

 ,……11分

,    .………………12分

因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以，

由解得: ………………13分

代入圆的方程为：,

整理得：,……………14分

所以：………………15分   解得：或(舍).

     所以圆过定点(0,1). ………………16分

(法二) 设圆的一般方程为:,将代入的圆的方程:

.………………8分

方程与方程为同解方程., …………11分

圆过定点(2,0)，所以 ,  ………………12分          

因为动直线与椭圆C交与P,Q（均不与A点重合）所以.

解得: ,…………13分  (以下相同)