Question

已知l₁、l₂是曲线C：y=

1

x

的两条互相平行的切线，则l₁与l₂与的距离的最大值为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：首先设出两切点，求出导数，求出斜率，写出两切线方程，运用两平行直线的距离公式化简整理，再运用基本不等式即可求出最大值，注意等号成立的条件．

解答： 解：设l₁，l₂与曲线相切的切点分别是P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则y₁=

1

x1

，y₂=

1

x2

，
又y′=（

1

x

）′=-

1

x2

，
∵l₁∥l₂，∴-

1

x12

=-

1

x22

，∴x₂=-x₁，
∴l₁：y-y₁=-

1

x12

（x-x₁）即y=-

1

x12

x+

2

x1

，
l₂：y-y₂=-

1

x22

（x-x₂）即y=-

1

x12

x-

2

x1

，
∴由两平行线的距离公式得，d=

4 |x1|

1+ 1 x14

=

4

x12+ 1 x12

≤

4

2

=2

2

．当且仅当x12=

1

x12

即x₁=±1时，d取得最大值2

2

．
故答案为：2

2

．

点评：本题考查导数的概念及应用，应用导数的几何意义是求切线方程的关键，同时考查两平行直线的距离公式及基本不等式的运用，熟记这些公式是迅速解题的前提．