Question

1．已知动圆过定点F（0，-1），且与直线l：y=1相切，椭圆N的对称轴为坐标轴，O点为坐标原点，F是其一个焦点，又点A（0，2）在椭圆N上．若过F的动直线m交椭圆于B，C点，交轨迹M于D，E两点，设S₁为△ABC的面积，S₂为△ODE的面积，令Z=S₁S₂，Z的最小值是9．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得动圆圆心Q的轨迹的标准方程，由题意可得c=1，a=2，求得b，进而得到椭圆方程；显然直线m的斜率存在，不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1，分别代入抛物线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，求得三角形的面积，再由不等式的性质，即可得到所求最小值．

解答 解：依题意，由抛物线的定义易得动圆圆心Q的轨迹M的标准方程为：x²=-4y，
依题意可设椭圆N的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
显然有c=1，a=2，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得椭圆N的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
显然直线m的斜率存在，
不妨设直线m的直线方程为：y=kx-1①
联立椭圆N的标准方程$\frac{{y}^{2}}{4}$+$\frac{{x}^{2}}{3}$=1，有（3k²+4）x²-6kx-9=0，
x₁+x₂=$\frac{6k}{4+3{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{9}{4+3{k}^{2}}$，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
则有|BC|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{36{k}^{2}}{（4+3{k}^{2}）^{2}}+\frac{36}{4+3{k}^{2}}}$=$\frac{12（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
又A（0，2）到直线m的距离d₁=$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S₁=$\frac{1}{2}$|BC|d₁=$\frac{18\sqrt{1+{k}^{2}}}{4+3{k}^{2}}$，
再将①式联立抛物线方程x²=-4y有x²+4kx-4=0，
同理易得|DE|=4（1+k²），d₂=$\frac{1}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴S₂=2$\sqrt{1+{k}^{2}}$，
∴Z=S₁S₂=$\frac{36（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$=12（1-$\frac{1}{4+3{k}^{2}}$）≥12（1-$\frac{1}{4}$）=9，
∴当k=0时，Z_min=9．
故答案为：9．

点评 本题考查直线和圆相切的条件，同时考查抛物线的定义和椭圆方程的运用，注意联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．