Question

【题目】如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2.

（1）若点在线段上，且，证明：；

（2）记平面与平面的交线为.若二面角为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析，（2）

【解析】

（1）先在图1中连结DP，根据tan∠PDC＝tan∠DAE得到∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，即可证明AE⊥平面POD'，从而得到AE⊥PD'；

（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，在平面POD'内过点O作底面垂线，以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解l与平面D'CE所成角的正弦值．

证明：（1）先在图1中连结DP，在Rt△ADE中，由AD，DE，

得tan∠DAE，在Rt△PCD中，由DC＝AB，PC＝BC-BP，

得tan∠PDC，∴tan∠PDC＝tan∠DAE，则∠PDC＝∠DAE，

∴∠DOE＝90°，从而有AE⊥OD，AE⊥OP，

即在图2中有AE⊥OD'，AE⊥OP，

∴AE⊥平面POD'，则AE⊥PD'；

解：（2）延长AE，BC交于点Q，连接D'Q，根据公理3得到直线D'Q即为l，

再根据二面角定义得到．

在平面POD'内过点O作底面垂线，

以O为原点，分别为OA，OP，及所作垂线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则D′（0，﹣1，），E（﹣1，0，0），Q（﹣11，0，0），C（﹣3，4，0），

（﹣11，1，），（﹣2，4，0），（1，﹣1，），

设平面D′EC的一个法向量为，

由，取y＝1，得．

∴l与平面D'CE所成角的正弦值为|cos|．