【题目】已知函数.
(1)判断极值点的个数;
(2)若x>0时,恒成立,求实数
的取值范围
【答案】(1)0
(2)
【解析】
(1)求导,根据导数与函数单调性及极值的关系,分别求得函数f(x)极值点的个数;
(2)ex>f(x),(x>0),可化为(1﹣x)ex+ax﹣1<0.设h(x)=(1﹣x)ex+ax﹣1,(x>0),则问题等价于当x>0时,h(x)<0.,根据函数h(x)的性质,分类讨论,即可求得实数a的取值范围.
(1)由f(x)a,得f'(x)
.x≠0;
设g(x)=(x﹣1)ex+1,则g'(x)=xex,
当x∈(﹣∞,0)时,g'(x)<0,所以g(x)在(﹣∞,0)上是减函数,
当x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)上是增函数,
所以g(x)≥g(0)=0,所以,
所以f(x)在定义域上是增函数,f(x)极值点个数为0.
(2)ex>f(x)(x>0),可化为(1﹣x)ex+ax﹣1<0.
令h(x)=(1﹣x)ex+ax﹣1,(x>0),则问题等价于当x>0时,h(x)<0.
∴h'(x)=﹣xex+a,
令m(x)=﹣xex+a,则m(x)在(0,+∞)上是减函数.
当a≤0时,m(x)<m(0)=a≤0.
所以h'(x)<0,h(x)在(0,+∞)上是减函数.
所以h(x)<h(0)=0.
②当a>0时,m(0)=a>0,
m(a)=﹣aea+a=a(1﹣ea)<0,
所以存在x0∈(0,a),使m(x0)=0.
当x∈(0,x0)时,m(x)>0,h'(x)>0,h(x)在(0,x0)上是增函数.
因为h(0)=0,所以当x∈(0,x0)时,h(x)>0,不满足题意.
综上所述,实数a的取值范围是(﹣∞,0].
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【题目】如图1,在矩形中,
,
,点
在线段
上,且
,现将
沿
折到
的位置,连结
,
,如图2.
(1)若点在线段
上,且
,证明:
;
(2)记平面与平面
的交线为
.若二面角
为
,求
与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某工厂共有员工5000人,现从中随机抽取100位员工,对他们每月完成合格产品的件数进行统计,统计表格如下:
(1)工厂规定:每月完成合格产品的件数超过3200件的员工,会被评为“生产能手”称号.由以上统计数据填写下面的列联表,并判断是否有95%的把握认为“生产能手”称号与性别有关?
(2)为提高员工劳动的积极性,该工厂实行累进计件工资制:规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的(包括2600件),计件单价为1元;超出(0,200]件的部分,累进计件单价为1.2元;超出(200,400]件的部分,累进计件单价为1.3元;超出400件以上的部分,累进计件单价为1.4元.将这4段的频率视为相应的概率,在该厂男员工中随机选取1人,女员工中随机选取2人进行工资调查,设实得计件工资(实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资)超过3100元的人数为,求
的分布列和数学期望.
附:,
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【题目】
如图,四棱锥S-ABCD的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的倍,P为侧棱SD上的点.
(Ⅰ)求证:AC⊥SD;
(Ⅱ)若SD⊥平面PAC,求二面角P-AC-D的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在,求SE:EC的值;若不存在,试说明理由.
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【题目】已知四棱锥中,底面
为等腰梯形,
,
,
,
丄底面
.
(1)证明:平面平面
;
(2)过的平面交
于点
,若平面
把四棱锥
分成体积相等的两部分,求二面角
的余弦值.
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【题目】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将200只小鼠随机分成两组,每组100只,其中
组小鼠给服甲离子溶液,
组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:
记为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于
”,根据直方图得到
的估计值为
.
(1)求乙离子残留百分比直方图中的值;
(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).
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【题目】在直角坐标系中,已知动直线
的参数方程:
,(
为参数,
) ,以坐标原点为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(Ⅰ)求曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)若直线与曲线
恰好有2个公共点时,求直线
的一般方程.
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