Question

【题目】已知函数.

（1）判断极值点的个数；

（2）若x>0时，恒成立，求实数的取值范围

Answer 1

【答案】（1）0

（2）

【解析】

（1）求导，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f（x）极值点的个数；

（2）ex＞f（x），（x＞0），可化为（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．设h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），则问题等价于当x＞0时，h（x）＜0．，根据函数h（x）的性质，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．

（1）由f（x）a，得f'（x）．x≠0；

设g（x）＝（x﹣1）ex+1，则g'（x）＝xex，

当x∈（﹣∞，0）时，g'（x）＜0，所以g（x）在（﹣∞，0）上是减函数，

当x∈（0，+∞）时，g'（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上是增函数，

所以g（x）≥g（0）＝0，所以，

所以f（x）在定义域上是增函数，f（x）极值点个数为0．

（2）ex＞f（x）（x＞0），可化为（1﹣x）ex+ax﹣1＜0．

令h（x）＝（1﹣x）ex+ax﹣1，（x＞0），则问题等价于当x＞0时，h（x）＜0．

∴h'（x）＝﹣xex+a，

令m（x）＝﹣xex+a，则m（x）在（0，+∞）上是减函数．

当a≤0时，m（x）<m（0）＝a≤0．

所以h'（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上是减函数．

所以h（x）＜h（0）＝0．

②当a＞0时，m（0）＝a＞0，

m（a）＝﹣aea+a＝a（1﹣ea）＜0，

所以存在x0∈（0，a），使m（x0）＝0．

当x∈（0，x0）时，m（x）＞0，h'（x）＞0，h（x）在（0，x0）上是增函数．

因为h（0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，h（x）＞0，不满足题意．

综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，0]．