Question

17．已知中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆C的一个焦点F在抛物线y²=4x的准线上，且椭圆C过点P（1，$\frac{3}{2}$）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l过点F，且与椭圆C相交于A，B不同两点，M为椭圆C上的另一个焦点，求△MAB面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据条件可得出F（-1，0），并设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），从而有$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解出a，b，从而得出椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）根据条件设直线l的方程为x=my-1，并设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l方程联立椭圆方程并消去x便可得到（3m²+4）y²-6my-9=0，根据韦达定理即可求出$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，而可得出△MAB面积s=|y₁-y₂|，带入并变形得到s=$12\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$，根据函数$y=9t+\frac{1}{t}+6$的单调性即可求出s的最大值．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的准线方程为x=-1，由题意知F（-1，0）；
设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）；
则由题意得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=4}\\{{b}^{2}=3}\end{array}\right.$；
故椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由（1）知F（-1，0），M（1，0）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设过点F的直线方程为x=my-1，联立椭圆方程消去x得：（3m²+4）y²-6my-9=0；
∴${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{144（{m}^{2}+1）}{（3{m}^{2}+4）^{2}}$，${y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$；
∴$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$；
∴△MAB的面积$s=\frac{1}{2}|MF||{y}_{1}-{y}_{2}|$
=|y₁-y₂|
=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$
=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{[3（{m}^{2}+1）+1]^{2}}}$
=$12\sqrt{\frac{{m}^{2}+1}{9（{m}^{2}+1）^{2}+6（{m}^{2}+1）+1}}$
=$12\sqrt{\frac{1}{9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6}}$；
∵m²+1≥1，而函数$y=9t+\frac{1}{t}$在区间[1，+∞）上单调递增；
∴$9（{m}^{2}+1）+\frac{1}{{m}^{2}+1}+6≥16$，m=0时取“=”；
∴$s≤\frac{12}{4}=3$；
∴当m=0时，△MAB的面积取得最大值3．

点评 考查椭圆和抛物线的标准方程，椭圆的焦点、抛物线的准线的概念，根据条件及题目需要设出适当的直线方程的能力，韦达定理，完全平方公式的应用，清楚函数$y=x+\frac{1}{x}$的单调性，根据函数单调性求最值的方法，以及三角形的面积公式．