Question

9．已知平面内三个向量：$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1）
（Ⅰ）若（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），求实数k的值；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{d}$=（x，y），且满足（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$），|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，求$\overrightarrow{d}$．

Answer 1

分析 首先将它们中的相关向量坐标化，然后进行向量平行、垂直的坐标运算．

解答 解：因为$\overrightarrow{a}$=（3，2），$\overrightarrow{b}$=（-1，2），$\overrightarrow{c}$=（4，1），
所以（Ⅰ）$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$=（3+4k，2+k），2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$=（-5，2），又（$\overrightarrow{a}$+k$\overrightarrow{c}$）∥（2$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$），
所以2（3+4k）+5（2+k）=0，解得k=$-\frac{16}{13}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{d}$=（x，y），且满足（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$），|$\overrightarrow{d}$-$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{5}$，又$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$=（2，4），$\overrightarrow{d}-\overrightarrow{c}$=（x-4，y-1），
所以$\left\{\begin{array}{l}{2（x-4）+4（y-1）=0}\\{（x-4）^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$
所以$\overrightarrow{d}$=（6，0）或者（2，2）．

点评 本题考查了平面向量的在必要时以及向量平行、垂直时的坐标关系；属于基础题．