Question

设函数f（x）=|x-2|+|x-a|（a∈R）．
（1）当a=-1时，解不等式f（x）≥4．
（2）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=-1时，f（x）=|x-2|+|x+1|，由此利用零点分段讨论法能求出不等式f（x）≥4的解集．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a-2|，若f（x）≥2对x∈R恒成立，则只要满足|a-2|≥2，由此能求出实数a的取值范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x+1|，
由x-2=0，得x=2；由x+1=0得x=-1．
①当x≥2时，f（x）=x-2+x+1=2x-1≥4，解得x≥

5

2

；
②当-1≤x＜2时，f（x）=2-x+x+1=3＜4，不等式f（x）≥4不成立；
③当x＜-1时，f（x）=2-x-1-x=1-2x≥4，解得x＜-

3

2

．
综上所述不等式f（x）≥4的解集为{x|x≤-

3

2

或x≥

5

2

}．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a-2|，
若f（x）≥2对x∈R恒成立，
则只要满足|a-2|≥2，解得a≤0或a≥4．
∴实数a的取值范围是：a≤0或a≥4．

点评：本题考查不等式的解集的求法，考查带绝对值的函数，解题时要认真审题，注意零点分段讨论法和绝对值的含义的合理运用．