Question

已知圆x²+y²=8，定点P（4，0），问：过P点的直线的倾斜角在什么范围内取值时，这条直线与已知圆（1）相切（2）相交（3）相离，并写出过点P的切线方程．

Answer 1

考点：圆的切线方程

专题：计算题,直线与圆

分析：圆心到直线的距离与半径比较，建立等式（或不等式），即可得出结论．

解答： 解：（1）圆心到直线的距离公式得

|4k|

k2+1

=2

2

，求得k=1或k=-1．
所以，倾斜角为45°或135°；
切线方程为y=±（x-4），即x-y-4=0或x+y-4=0；
（2）圆心到直线的距离公式得

|4k|

k2+1

＜2

2

，求得-1＜k＜1．
所以，倾斜角为[0°，45°）∪（135°，180°）；
①当直线的斜率不存在时，即直线的倾斜角为90°，
因为圆x²+y²=8的圆心（0，0），半径是2

2

，所以直线方程是x=4与圆x²+y²=8无公共点．
②当直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，则直线方程为：y=k（x-4），即kx-y-4k=0．
由直线与圆无公共点，所以圆心到直线的距离公式得：

|4k|

k2+1

＞2

2

，
求得k＞1或k＜-1．
所以，倾斜角为（45°，90°）∪（90°，135°）
综上，倾斜角的范围为（45°，135°），直线与圆相离．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查圆心到直线的距离公式，考查学生的计算能力，难度中等．