Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：当n∈N*且n≥2时，．

Answer 1

解：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是，所以数列是公差为1的等差数列．（5分）
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以，故a_n=（n+1）•2ⁿ．（6分）
（2）因为，则当n≥2时，==．（9分）

下面证
令，则，
∴g（x）在（0，+∞）时单调递增，g（x）＞g（0）=0，即当x＞0时，
令，，，
，，，
以上n个式相加，即有
∴（14分）
分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．两式相减，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．，所以数列是公差为1的等差数列．由此可知a_n=（n+1）•2ⁿ．
（2）由题意知==．然后再证明证．
点评：本题考查数列性质的综合运用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用．