【题目】(1)椭圆C:+
=1(a>b>0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:
为定值b2﹣a2.
(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:=1(a>0,b>0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,则
为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)设点P(x0,y0),x0≠±a,依题意,得A(﹣a,0),B(a,0),从而得直线PA的方程,继而求得点M,N的纵坐标,得到yMyN=,把点P(x0,y0),代入椭圆方程可求得yMyN=
=b2,从而得
=b2﹣a2.
(2)类比(1)的结论,可得的值.
(1)证明:设点P(x0,y0),x0≠±a,
依题意,得A(﹣a,0),B(a,0),
∴直线PA的方程为y=(x+a)
令x=0,得yM=
同理得yN=
∴yMyN=,
∵点P(x0,y0)是椭圆C上一点,
∴=1,
=
(a2﹣
),
∴yMyN==b2,
=(a,yN),
=(﹣a,yM),
∴=﹣a2+yMyN=b2﹣a2
(2)﹣(a2+b2)
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【题目】已知函数.
(1)讨论函数y=f(x)在∈(m,+∞)上的单调性;
(2)若,则当x∈[m,m+1]时,函数y= f(x)的图象是否总在函数
图象上方?请写出判断过程.
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【题目】已知三点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1),P为平面ABC上的一点, =λ
+μ
,且
=0,
=3.
(1)求
;
(2)求λ+μ 的值.
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【题目】某工厂第一季度某产品月生产量分别为10万件,12万件,13万件,为了预测以后每个月的产量,以这3个月的产量为依据,用一个函数模拟该产品的月产量y (单位:万件)与月份x 的关系.模拟函数1:y=ax+ +c
;模拟函数2:y=mnx+s.
(1)已知4月份的产量为13.7 万件,问选用哪个函数作为模拟函数好?
(2)受工厂设备的影响,全年的每月产量都不超过15万件,请选用合适的模拟函数预测6月份的产量.
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【题目】某校对高三年级的学生进行体检,现将高三男生体重(单位:kg)的数据进行整理后分为五组,并绘制出频率分布直方图(如图所示).根据一般标准,高三男生的体重超过65 kg属于偏胖,低于55 kg属于偏瘦.已知图中从左到右第一、第三、第四、第五小组的频率分别为0.25,0.20,0.10,0.05,第二小组的频数为400,则该校高三年级男生的总数和体重正常的频率分别为( )
A. 1000,0.50 B. 800,0.50
C. 800,0.60 D. 1000,0.60
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【题目】(本小题满分16分)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为立方米,且
.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为
(
)千元.设该容器的建造费用为
千元.
(1)写出关于
的函数表达式,并求该函数的定义域;
(2)求该容器的建造费用最小时的.
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【题目】在某次试验中,两个试验数据x,y的统计结果如下面的表格1所示.
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
y | 2 | 3 | 4 | 4 | 5 |
表格1
(1)在给出的坐标系中画出数据x,y的散点图.
(2)补全表格2,根据表格2中的数据和公式求下列问题.
①求出y关于x的回归直线方程中的
.
②估计当x=10时,的值是多少?
表格2
序号 | x | y | x2 | xy |
1 | 1 | 2 | 1 | 2 |
2 | 2 | 3 | 4 | 6 |
3 | 3 | 4 | 9 | 12 |
4 | 4 | 4 | 16 | 16 |
5 | 5 | 5 | 25 | 25 |
∑ |
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