【题目】已知函数,(a,b∈R)为奇函数.
(1)求b值;
(2)当a=﹣2时,存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求实数t的取值范围;
(3)当a≥1时,求证:函数g(x)=f(2x)﹣c(c∈R)在区间(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点.
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【题目】为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元。设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式。
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值。
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(
为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)过点,倾斜角为
的直线l与曲线C相交于M,N两点,求
的值.
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【题目】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,平面ABCD,且
.
(1)求证:平面PBD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为,求二面角D-PC-B的余弦值.
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【题目】如图1所示,在等腰梯形ABCD中,,
,垂足为E,
,
将
沿EC折起到
的位置,如图2所示,使平面
平面ABCE.
(1)连结BE,证明:平面
;
(2)在棱上是否存在点G,使得
平面
,若存在,直接指出点G的位置
不必说明理由
,并求出此时三棱锥
的体积;若不存在,请说明理由.
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【题目】自由购是一种通过自助结算购物的形式.某大型超市为调查顾客自由购的使用情况,随机抽取了100人,调查结果整理如下:
20以下 | [20,30) | [30,40) | [40,50) | [50,60) | [60,70] | 70以上 | |
使用人数 | 3 | 12 | 17 | 6 | 4 | 2 | 0 |
未使用人数 | 0 | 0 | 3 | 14 | 36 | 3 | 0 |
(1)现随机抽取1名顾客,试估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率;
(2)从被抽取的年龄在[50,70]使用的自由购顾客中,随机抽取2人进一步了解情况,求这2人年龄都在[50,60)的概率;
(3)为鼓励顾客使用自由购,该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物,试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋?
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【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为
.
(1)求点的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图;
(2)(理)记(1)得到的轨迹为曲线,问曲线
上关于点
对称的不同点有几对?请说明理由.
(3)(文)记(1)得到的轨迹为曲线,若曲线
上恰有三对不同的点关于点
对称,求
的取值范围.
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【题目】某人上午7时乘船出发,以匀速海里/小时
从
港前往相距50海里的
港,然后乘汽车以匀速
千米/小时(
)自
港前往相距
千米的
市,计划当天下午4到9时到达
市.设乘船和汽车的所要的时间分别为
、
小时,如果所需要的经费
(单位:元)
(1)试用含有、
的代数式表示
;
(2)要使得所需经费最少,求
和
的值,并求出此时的费用.
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【题目】如图,曲线由两个椭圆
:
和椭圆
:
组成,当
成等比数列时,称曲线
为“猫眼曲线”.
(1)若猫眼曲线过点
,且
的公比为
,求猫眼曲线
的方程;
(2)对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆
所得弦的中点为M,交椭圆
所得弦的中点为N,求证:
为与
无关的定值;
(3)若斜率为的直线
为椭圆
的切线,且交椭圆
于点
,
为椭圆
上的任意一点(点
与点
不重合),求
面积的最大值.
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