【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为
.
(1)求点的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图;
(2)(理)记(1)得到的轨迹为曲线,问曲线
上关于点
对称的不同点有几对?请说明理由.
(3)(文)记(1)得到的轨迹为曲线,若曲线
上恰有三对不同的点关于点
对称,求
的取值范围.
【答案】(1)点的轨迹方程为
,作图见解析 (2)答案不唯一 ,见解析(3)
【解析】
(1)根据条件列方程,化简即得轨迹方程,再根据轨迹形状画图;
(2)结合图象易得关于轴对称点的个数,再利用方程求解不关于
轴对称点的个数,最后综合得结果;
(3)结合图象易得关于轴对称点的有一对,再利用方程求解不关于
轴对称点的对数为两对的条件,即得结果.
解:、设
,由题意
①:当时,有
,化简得:
②:当时,有
,化简得:
(二次函数)
综上所述:点的轨迹方程为
(如图)
、(理)当
或
显然不存在符合题意的对称点
当时,注意到曲线
关于
轴对称,至少存在一对(关于
轴对称的)对称点
下面研究曲线上关于
对称但不关于
轴对称的对称点
设是轨迹
上任意一点,则
,它关于
的对称点为
,由于点
在轨迹
上,
所以,
联立方程组(*)得
,
化简得
①当时,
,此时方程组(*)有两解,即增加有两组对称点。
②当时,
,此时方程组(*)只有一组解,即增加一组对称点。(注:对称点为
,
)
③当时,
,此时方程组(*)有两解为
,没有增加新的对称点。
综上所述:
(3)、(文)若,则
,所以曲线
关于
轴对称,
所以一对存在关于轴对称的对称点
下面研究曲线上关于
对称但不关于
轴对称的对称点
设是轨迹
上任意一点,则
,它关于
的对称点为
,由于点
在轨迹
上,
所以,联立方程组
(*)得
,化简得
当时,
,此时方程组(*)有两解,即增加有两组对称点。
所以的取值范围是
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【题目】如图:已知正方形的边长为
,沿着对角线
将
折起,使
到达
的位置,且
.
(1)证明:平面平面
;
(2)若是
的中点,点
在线段
上,且满足直线
与平面
所成角的正弦值为
,求
的值.
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【题目】已知函数.
(I)试判断函数的单调性;
(Ⅱ)若函数在
上有且仅有一个零点,
(i)求证:此零点是的极值点;
(ⅱ)求证:.
(本题可能会用到的数据:)
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【题目】已知函数,(a,b∈R)为奇函数.
(1)求b值;
(2)当a=﹣2时,存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求实数t的取值范围;
(3)当a≥1时,求证:函数g(x)=f(2x)﹣c(c∈R)在区间(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点.
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【题目】已知函数.
(1)求函数在
上的单调递增区间;
(2)将函数的图象向左平移
个单位长度,再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的
倍(纵坐标不变),得到函数
的图象.求证:存在无穷多个互不相同的整数
,使得
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】长轴长为的椭圆的中心在原点,其焦点
,
在
轴上,抛物线的顶点在原点
,对称轴为
轴,两曲线在第一象限内相交于点
, 且
,
的面积为3.
(1)求椭圆和抛物线的标准方程;
(2)过点作直线
分别与抛物线和椭圆交于
,
,若
,求直线
的斜率
.
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