【题目】已知函数.
(I)试判断函数的单调性;
(Ⅱ)若函数在
上有且仅有一个零点,
(i)求证:此零点是的极值点;
(ⅱ)求证:.
(本题可能会用到的数据:)
【答案】(I)见解析;(Ⅱ)(i)证明见解析;(ii)证明见解析.
【解析】
(Ⅰ)先求得导函数,然后对分类讨论,即可得单调区间.
(Ⅱ)(i)先求得反函数,代入即可求得
的解析式.求得
,根据仅有一个零点,可知
在
单调递增,通过检验
与
函数值的符号,可判断零点所在区间为
.通过判断
时,
时,
,即可知
极小值点为
.
(ⅱ)根据(i)由可解得
.构造函数
通过检验
与
可知
,通过分析
在
单调递增,可知当
时,
成立,即证明
.
(I)
时,
恒成立
所以在
单调递增,没有单调递减区间.
时,解不等式
可得:
,
所以此时在
单调递减,在
单调递增.
综上:时,
在
单调递减,在
单调递增,
时,
在
单调递增,没有单调递减区间.
(Ⅱ)(i)
则
函数在
上有且仅有一个零点
在
单调递增
又因为
且
,使得
且时,
时,
在
单调递减,
单调递增
在
上有且仅有一个零点,所以此零点为极小值点
(ii)由(i)得,即
,
解得,且
.
设
,则
在
单调递减.
因为
.
又在
单调递增,
,
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【题目】现有10个不同的产品,其中4个次品,6个正品.现每次取其中一个进行测试,直到4个次品全测完为止,若最后一个次品恰好在第五次测试时被发现,则该情况出现的概率是_______.
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【题目】2018年1月26日,甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》,卫生部对16所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估.满10分者为“安全食堂”,评分7分以下的为“待改革食堂”.评分在4分以下考虑为“取缔食堂”,所有大学食堂的评分在7~10分之间,以下表格记录了它们的评分情况:
(1)现从16所大学食堂中随机抽取3个,求至多有1个评分不低于9分的概率;
(2)以这16所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质,若从全国的大学食堂任选3个,记表示抽到评分不低于9分的食堂个数,求
的分布列及数学期望.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为(
为参数),以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)过点,倾斜角为
的直线l与曲线C相交于M,N两点,求
的值.
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【题目】一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出,需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住,罩内充满保护文物的无色气体.已知文物近似于塔形,高1.8米,体积0.5立方米,其底部是直径为0.9米的圆形,要求文物底部与玻璃罩底边至少间隔0.3米,文物顶部与玻璃罩上底面至少间隔0.2米,气体每立方米1000元,则气体费用最少为( )元
A.4500B.4000C.2880D.2380
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【题目】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,平面ABCD,且
.
(1)求证:平面PBD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为,求二面角D-PC-B的余弦值.
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【题目】如图1所示,在等腰梯形ABCD中,,
,垂足为E,
,
将
沿EC折起到
的位置,如图2所示,使平面
平面ABCE.
(1)连结BE,证明:平面
;
(2)在棱上是否存在点G,使得
平面
,若存在,直接指出点G的位置
不必说明理由
,并求出此时三棱锥
的体积;若不存在,请说明理由.
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【题目】若动点到定点
与定直线
的距离之和为
.
(1)求点的轨迹方程,并在答题卡所示位置画出方程的曲线草图;
(2)(理)记(1)得到的轨迹为曲线,问曲线
上关于点
对称的不同点有几对?请说明理由.
(3)(文)记(1)得到的轨迹为曲线,若曲线
上恰有三对不同的点关于点
对称,求
的取值范围.
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【题目】近年,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,某省采用模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,每门科目满分均为
分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物
门科目中自选
门参加考试(
选
),每门科目满分均为
分.为了应对新高考,某高中从高一年级
名学生(其中男生
人,女生
人)中,采用分层抽样的方法从中抽取
名学生进行调查,其中,女生抽取
人.
(1)求的值;
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的一个不完整的
列联表,请将下面的
列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(3)在抽取到的名女生中,按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出
名女生,再从这
名女生中抽取
人,设这
人中选择“物理”的人数为
,求
的分布列及期望.附:
,
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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