【题目】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,平面ABCD,且
.
(1)求证:平面PBD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为,求二面角D-PC-B的余弦值.
【答案】(1)证明见解析,(2)
【解析】
(1)取CD的中点E,连接AE,BE,BD,证明四边形ABED为正方形,得到,再由线面垂直可得
,即可证明
平面PBD,再证四边形ABCE为平行四边形,即可得证.
(2)以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量法求出二面角的余弦值.
解:(1)证明:取CD的中点E,连接AE,BE,BD.
.
又,
四边形ABED为正方形,则
.
平面ABCD,
平面ABCD,
.
平面PBD,
平面PBD.
平面PBD.
,
四边形ABCE为平行四边形,
平面PBD.
(2)平面ABCD,
为PB与平面ABCD所成的角,
即,则
.
设,则
.
以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DP所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
.
平面PDC,
平面PDC的一个法向量
.
设平面PBC的法向量,
,
则,
取,则
.
设二面角D-PC-B的平面角为,
.
由图可知二面角D-PC-B为锐角,
故二面角D-PC-B的余弦值为.
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【题目】某地拟建造一座体育馆,其设计方案侧面的外轮廓线如图所示:曲线是以点
为圆心的圆的一部分,其中
,
是圆的切线,且
,曲线
是抛物线
的一部分,
,且
恰好等于圆
的半径.
(1)若米,
米,求
与
的值;
(2)若体育馆侧面的最大宽度不超过75米,求
的取值范围.
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【题目】已知数列是公比大于
的等比数列,
为数列
的前
项和,
,且
,
,
成等差数列.数列
的前
项和为
,
满足
,且
,
(1)求数列和
的通项公式;
(2)令,求数列
的前
项和为
;
(3)将数列,
的项按照“当
为奇数时,
放在前面;当
为偶数时,
放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,求这个新数列的前
项和
.
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【题目】已知,
为两非零有理数列(即对任意的
,
,
均为有理数),
为一个无理数列(即对任意的
,
为无理数).
(1)已知,并且
对任意的
恒成立,试求
的通项公式;
(2)若为有理数列,试证明:对任意的
,
恒成立的充要条件为
;
(3)已知,
,试计算
.
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【题目】已知函数.
(I)试判断函数的单调性;
(Ⅱ)若函数在
上有且仅有一个零点,
(i)求证:此零点是的极值点;
(ⅱ)求证:.
(本题可能会用到的数据:)
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【题目】党的十九大报告指出,在全面建成小康社会的决胜阶段,让贫困地区同全国人民共同进入全面小康社会是我们党的庄严承诺.在“脱真贫、真脱贫”的过程中,精准扶贫助推社会公平显得尤其重要.若某地区有100户贫困户,经过一年扶贫后,为了考查该地区的“精准扶贫”的成效该地区脱贫标准为“每户人均年收入不少于4000元”
,现从该地区随机抽取A、B两个村庄,再从这两个村庄的贫困户中随机抽取20户,调查每户的现人均年收入,绘制如图所示的茎叶图
单位:百元
.
(1)观察茎叶图中的数据,判断哪个村庄扶贫成效较好?并说明理由;
(2)计划对没有脱贫的贫困户进一步实行“精准扶贫”,下一年的资金投入方案如下:对人均年收入不高于2000元的贫困户,每户每年增加扶贫资金5000元;对人均年收入高于2000元但不高于3000元的贫困户,每户每年增加扶贫资金3000元;对人均年收入高于3000元但不高于4000元的贫困户,每户每年增加扶贫资金1000元;对已经脱贫的贫困户不再增加扶贫资金投入.依据此方案,试估计下一年该地区共需要增加扶贫资金多少元?
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【题目】已知函数,(a,b∈R)为奇函数.
(1)求b值;
(2)当a=﹣2时,存在x0∈[1,4]使得不等式f(x0)≤t成立,求实数t的取值范围;
(3)当a≥1时,求证:函数g(x)=f(2x)﹣c(c∈R)在区间(﹣∞,﹣1]上至多有一个零点.
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【题目】设数列的所有项都是不等于
的正数,
的前
项和为
,已知点
在直线
上(其中常数
,且
)数列,又
.
(1)求证数列是等比数列;
(2)如果,求实数
的值;
(3)若果存在使得点
和
都在直线在
上,是否存在自然数
,当
(
)时,
恒成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
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