【题目】设数列的所有项都是不等于
的正数,
的前
项和为
,已知点
在直线
上(其中常数
,且
)数列,又
.
(1)求证数列是等比数列;
(2)如果,求实数
的值;
(3)若果存在使得点
和
都在直线在
上,是否存在自然数
,当
(
)时,
恒成立?若存在,求出
的最小值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析(2),
(3)存在自然数
,其最小值为
【解析】
(1)由题意把点,
、
代入直线
,整理后得到
,由此说明数列
是等比数列;
(2)把化为指数式,结合数列
是等比数列可求
值,再由
在直线
上,取
求得
值;
(3)由,知
恒成立等价于
恒成立.结合存在
,
,
使得点
和
都在直线在
上,推得
是首项为正,公差为
的等差数列.再由一定存在自然数
,使
求解自然数
的最小值.
(1)证明:,
、
都在直线
上,
,
即,又
,且
,
为非零常数,即数列
是等比数列;
(2)解:由,得
,即
,得
.
由在直线
上,得
,
令得,
;
(3)解:由,知
恒成立等价于
恒成立.
存在
,
,
使得点
和
都在直线在
上,
,
,即
,
又,
,可得
,
又,
,
即是首项为正,公差为
的等差数列.
一定存在自然数
,使
,
即,解得
,
,
.
存在自然数
,其最小值为
,使得当
时,
恒成立.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,平面ABCD,且
.
(1)求证:平面PBD;
(2)若PB与平面ABCD所成的角为,求二面角D-PC-B的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某人上午7时乘船出发,以匀速海里/小时
从
港前往相距50海里的
港,然后乘汽车以匀速
千米/小时(
)自
港前往相距
千米的
市,计划当天下午4到9时到达
市.设乘船和汽车的所要的时间分别为
、
小时,如果所需要的经费
(单位:元)
(1)试用含有、
的代数式表示
;
(2)要使得所需经费最少,求
和
的值,并求出此时的费用.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】四棱锥S-ABCD的底面为正方形,,AC与BD交于E,M,N分别为SD,SA的中点,
.
(1)求证:平面平面SBD;
(2)求直线BD与平面CMN所成角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】近年,国家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科,某省采用模式,其中语文、数学、外语三科为必考科目,每门科目满分均为
分.另外考生还要依据想考取的高校及专业的要求,结合自己的兴趣爱好等因素,在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物
门科目中自选
门参加考试(
选
),每门科目满分均为
分.为了应对新高考,某高中从高一年级
名学生(其中男生
人,女生
人)中,采用分层抽样的方法从中抽取
名学生进行调查,其中,女生抽取
人.
(1)求的值;
(2)学校计划在高一上学期开设选修中的“物理”和“地理”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在“物理”和“地理”这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目),下表是根据调查结果得到的一个不完整的
列联表,请将下面的
列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由;
选择“物理” | 选择“地理” | 总计 | |
男生 | |||
女生 | |||
总计 |
(3)在抽取到的名女生中,按(2)中的选课情况进行分层抽样,从中抽出
名女生,再从这
名女生中抽取
人,设这
人中选择“物理”的人数为
,求
的分布列及期望.附:
,
0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某市2013年发放汽车牌照12万张,其中燃油型汽车牌照10万张,电动型汽车2万张,为了节能减排和控制总量,从2013年开始,每年电动型汽车牌照按50%增长,而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张,同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张,以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.
(1)记2013年为第一年,每年发放的燃油型汽车牌照数量构成数列,每年发放电动型汽车牌照数为构成数列
,完成下列表格,并写出这两个数列的通项公式;
(2)从2013年算起,累计各年发放的牌照数,哪一年开始超过200万张?
|
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,曲线由两个椭圆
:
和椭圆
:
组成,当
成等比数列时,称曲线
为“猫眼曲线”.
(1)若猫眼曲线过点
,且
的公比为
,求猫眼曲线
的方程;
(2)对于题(1)中的求猫眼曲线,任作斜率为
且不过原点的直线与该曲线相交,交椭圆
所得弦的中点为M,交椭圆
所得弦的中点为N,求证:
为与
无关的定值;
(3)若斜率为的直线
为椭圆
的切线,且交椭圆
于点
,
为椭圆
上的任意一点(点
与点
不重合),求
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设单调函数的定义域为
,值域为
,如果单调函数
使得函数
的值域也是
,则称函数
是函数
的一个“保值域函数”.已知定义域为
的函数
,函数
与
互为反函数,且
是
的一个“保值域函数”,
是
的一个“保值域函数”,则
__________.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.
(1)设,判断
在
上是否为有界函数,若是,请说明理由,并写出
的所有上界
的集合;若不是,也请说明理由;
(2)若函数在
上是以
为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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