Question

【题目】长轴长为的椭圆的中心在原点，其焦点，在轴上，抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，两曲线在第一象限内相交于点， 且，的面积为3.

（1）求椭圆和抛物线的标准方程；

（2）过点作直线分别与抛物线和椭圆交于，，若，求直线的斜率.

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

试题（1）根据实轴长为且，的面积为3列方程求出c,即可求椭圆方程，再根据点A的坐标求抛物线方程；（2）设直线的方程为，分别联立椭圆和抛物线方程，根据根与系数的关系得和，再根据，联立条件即可求出.

试题解析：

（1）设椭圆方程为，，，

由题意知，

解得，∴.椭圆的方程为.

∵，∴，代入椭圆的方程得，

将点坐标代入得抛物线方程为.

（2）设直线的方程为，，，

由，得，化简得.

联立直线与抛物线的方程得，

∴.①

联立直线与椭圆的方程，

得，

∴.②

∴ ，

整理得：，∴，所以直线的斜率为.