Question

【题目】过点（0，4），斜率为﹣1的直线与抛物线y2=2px（p＞0）交于两点A、B，且弦|AB|的长度为4 ．
（1）求p的值；
（2）求证：OA⊥OB（O为原点）．

Answer 1

【答案】解：（1）直线方程为y=﹣x+4，联立方程消去y得，x2﹣2（p+4）x+16=0．
设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），得x1+x2=2（p+4），x1x2=16，△=4（p+2）2﹣64＞0．
所以|AB|=|x1﹣x2|==4，所以p=2．
（2）证明：由（1）知，x1+x2=2（p+4）=12，x1x2=16，
∴y1y2=（﹣x1+4）（﹣x2+4）=﹣8p=﹣16
∴x1x2+y1y2=0，∴OA⊥OB．
【解析】（1）联立直线与抛物线方程，利用韦达定理，计算弦|AB|的长度，即可求p的值；
（2）证明x1x2+y1y2=0，即可得到OA⊥OB．