Question

【题目】如图，在三棱锥中，为中点，在平面内的射影在上，，，.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】分析：（1）推导出平面，平面平面，从而，，利用线面垂直的判定定理，即可得到面；

（2）以为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

详解：（1）因为在平面内的射影在上，所以平面.

因为平面，所以平面平面.

又平面平面，平面，，

所以平面.因为平面，所以.

由已知易得 ,又，所以,

在三角形中，由余弦定理得，

所以，于是，且·

又，平面，平面，

所以平面.

（2）在平面内过作，则平面.以为原点，向量

的方向分别为轴、轴、轴的正方向，

建立空间直角坐标系为计算简便，不妨设，

则，，，·

所以，.

显然是平面的一个法向量.

设是平面的法向量，

则,即·

令，得.

设二面角的大小为（为锐角）.

所以.

所以二面角的余弦值为.