Question

【题目】已知平面内点到点的距离和到直线的距离之比为，若动点P的轨迹为曲线C．

（I）求曲线C的方程；

（II）过F的直线与C交于A，B两点，点M的坐标为设O为坐标原点.证明：．

Answer 1

【答案】（I）（II）见解析

【解析】

（I）根据题目点到点的距离和到直线的距离之比为，列出相应的等式方程，化简可得轨迹C的方程；

（II）对直线分轴、l与x轴重合以及l存在斜率且斜率不为零三种情况进行分析，当l存在斜率且斜率不为零时，利用点斜式设直线方程，与曲线C的方程进行联立，结合韦达定理，可推得，从而推出。

解：（I）∵到点的距离和到直线的距离之比为.

∴，.

化简得：．

故所求曲线C的方程为：.

（II）分三种情况讨论：

1、当轴时，由椭圆对称性易知：．

2、当l与x轴重合时，由直线与椭圆位置关系知：

3、设l为：，，且，，

由化简得：，

∴，

设MA,MB，所在直线斜率分别为：，，则

此时，．

综上所述：.