【题目】已知离心率为的椭圆C:
(a>b>0)的左焦点为
,过
作长轴的垂线交椭圆于
、
两点,且
.
(I)求椭圆C的标准方程;
(II)设O为原点,若点A在直线上,点B在椭圆C上,且
,求线段AB长度的最小值.
【答案】(I) (II)
.
【解析】
(Ⅰ)由题意可得关于a,b,c 的方程组,求解可得a,b的值,则椭圆C的标准方程可求;
(Ⅱ)设点A(t,2),B(x0,y0),①当t=0时,直接求得|AB|;
②当t≠0时,,
,则lOB:y
,联立直线方程与椭圆方程,求得A,B的坐标,可得|AB|2,再由基本不等式求解.
(Ⅰ)由题意,,解得
.
∴椭圆C的标准方程为;
(Ⅱ)设点A(t,2),B(x0,y0),
①当t=0时,A(0,2),B(2,0),此时|AB|;
②当t≠0时,.
∵OA⊥OB,∴,则lOB:y
.
联立,消去y可得
.
∴,
.
∴
.
当且仅当,即t=0时取“=”.
∵t≠0,∴|AB|.
综上所述,|AB|.
综上:线段AB长度的最小值为.
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【题目】某品牌计算机售后保修期为1年,根据大量的维修记录资料,这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%,需要维修2次的占6%,需要维修3次的占4%.
(1)某人购买了一台这个品牌的计算机,设=“一年内需要维修k次”,k=0,1,2,3,请填写下表:
事件 | ||||
概率 |
事件是否满足两两互斥?是否满足等可能性?
(2)求下列事件的概率:
①A=“在1年内需要维修”;
②B=“在1年内不需要维修”;
③C=“在1年内维修不超过1次”.
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【题目】将圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的
倍,得曲线
.
写出
的参数方程;
设直线
与
的交点为
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段
的中点且与
垂直的直线的极坐标方程.
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【题目】某高中尝试进行课堂改革.现高一有两个成绩相当的班级,其中
班级参与改革,
班级没有参与改革.经过一段时间,对学生学习效果进行检测,规定成绩提高超过
分的为进步明显,得到如下列联表.
进步明显 | 进步不明显 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
(1)是否有的把握认为成绩进步是否明显与课堂是否改革有关?
(2)按照分层抽样的方式从班中进步明显的学生中抽取
人做进一步调查,然后从
人中抽
人进行座谈,求这
人来自不同班级的概率.
附:,当
时,有
的把握说事件
与
有关.
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【题目】若一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
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【题目】已知平面内点到点
的距离和到直线
的距离之比为
,若动点P的轨迹为曲线C.
(I)求曲线C的方程;
(II)过F的直线与C交于A,B两点,点M的坐标为
设O为坐标原点.证明:
.
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【题目】在长方体中,写出所有
(1)与直线AB平行的直线,并用“∥”表示;
(2)与直线异面的直线;
(3)与直线AB平行的平面,并用合适的符号表示;
(4)与平面平行的平面,并用合适的符号表示;
(5)与直线AD垂直的平面,并用合适的符号表示.
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【题目】已知过点的直线
的参数方程是
(
为参数),以平面直角坐标系的原点为极点,
轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
交于
两点,试问是否存在实数
,使得
?若存在,求出实数
的值;若不存在,说明理由.
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