【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若不等式在区间
上恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)分类讨论,详见解析;(2).
【解析】
(1)函数求导得,根据根的大小,分
,
,
三种情况讨论求解.
(2)根据不等式在区间
上恒成立,当
时,
恒成立,当
时,转化为
,恒成立,令
,利用导数法求其最小值即可.
(1),
即,当
时,
在
上单调递增;
当,即
时,由
,得
或
,由
,得
,
所以在区间
和
上单调递增;在区间
上单调递减;
当,即
时,由
,得
或
,由
,得
,
所以在区间
和
上单调递增;在区间
上单调递减.
综上所述:当时,
在
上单调递增;
当时,
在区间
和
上单调递增;在区间
上单调递减;
当时,
在区间
和
上单调递增;在区间
上单调递减.
(2)因为不等式在区间
上恒成立,
所以当时,
恒成立,当
时,
,
令,
则,由(1)得,当
时,
在
上单调递增,
又因为,所以
时,
;
时,
,
所以在区间
上单调递减,在区间
上单调递增,
则,
所以.
综上,的取值范围为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点
,直线
,设圆
的半径为1, 圆心在
上.
(1)若圆心也在直线
上,过点
作圆
的切线,求切线方程;
(2)若圆上存在点
,使
,求圆心
的横坐标
的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数,其中
,
是非空数集且
.设
,
.
(1)若,
,求
;
(2)是否存在实数,使得
,且
?若存在,求出所有满足条件的
;若不存在,说明理由;
(3)若且
,
,
单调递增,求集合
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程是
,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线l和曲线的直角坐标方程,曲线
的普通方程;
(2)若直线l与曲线和曲线
在第一象限的交点分别为P,Q,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在正整数数列中,由1开始依次按如下规则,将某些整数染成红色,先染1;再染3个偶数2,4,6;再染6后面最邻近的5个连续奇数7,9,11,13,15;再染15后面最邻近的7个连续偶数16,18,20,22,24,26,28;再染此后最邻近的9个连续奇数29,31,…,45;按此规则一直染下去,得到一红色子数列:1,2,4,6,7,9,11,13,15,16,……,则在这个红色子数列中,由1开始的第2019个数是( )
A. 3972 B. 3974 C. 3991 D. 3993
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校,
,
的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人).
高校 | 相关人员 | 抽取人数 |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(1)求,
;
(2)若从高校,
抽取的人中选2人做专题发言,求这2人都来自高校
的概率.
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