Question

已知函数f（x）=sin（x+）+cos（x-），x∈R
（1）求函数图象的对称中心
（2）已知，，求证：[f（β）]²-2=0．
（3）求的值．

Answer 1

解析：（1）∵f（x）=sinx-cosx-cosx+sinx
=（sinx-cosx）
=2sin（x-），
∴x-=kπ，即x=kπ+，
∴（kπ+，0）（k∈Z）为对称中心；
（2）∵0＜α＜β≤，
∴＞β-α＞0，π＞β+α＞0，
∵cos（β-α）=，
∴sin（β-α）=．
∵cos（α+β）=-，
∴sin（α+β）=．
∴sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）-cos（α+β）sin（α-β）=•-（-）•（-）=0，
[f（β）]²-2=4-2=2[1-cos（2β-）]=-2sin2β=0，
所以，结论成立．
（3）∵f（x）=2sin（x-），
∴f（）+f（）+f（）+f（π）+f（）+f（）+f（）+f（）=0，
∴原式=251[f（）+f（）+f（）+f（π）+f（）+f（）+f（）+f（）]+f（）+f（）+f（）
=0++2
=2+．
分析：（1）利用两角和与差的正弦与余弦及辅助角公式将f（x）转化为f（x）=2sin（x-），利用正弦函数的性质即可求得函数图象的对称中心；
（2）利用利用两角和与差的正弦与余弦可求得sin2β=sin[（α+β）-（α-β）]，再利用二倍角的余弦即可可证得结论；
（3）由f（x）=2sin（x-），可求得f（）+f（）+f（）+f（π）+f（）+f（）+f（）+f（）=0，利用函数的周期性即可求得答案．
点评：本题考查两角和与差的正弦与余弦，考查二倍角公式的应用，考查函数的周期性与函数的求值，综合题强，难度大，属于难题．