Question

已知过点P（1，2）做直线与圆C：x²+y²=1相交于A、B两点，在线段AB上取点Q，满足|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|，证明：点Q总在某定直线上．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系,平面向量数量积的运算

专题：直线与圆

分析：首先根据|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|，进一步利用分点坐标公式求出①②③④几个式子，进一步结合关系求解．

解答： 证明：已知过点P（1，2）做直线与圆C：x²+y²=1，交于A、B两点，设Q（x，y），A（x₁，y₁），
B（x₂，y₂）且|

AP

|•|

BQ

|=|

AQ

|•|

BP

|
则：

| AP |

| PB |

=

| AQ |

| QB |

=λ(λ＞0，λ≠1)
利用分点坐标公式：1=

x1-λx2

1-λ

①，2=

y1-λy2

1-λ

②，x=

x1+λx2

1+λ

③，y=

y1+λy2

1+λ

④
所以：①×③得：x=

x12-λ2x22

1-λ2

⑤
②×④得：2y=

y12-λ2y22

1-λ2

⑥
由于A、B在圆上，
所以满足圆的方程．
所以：⑤+⑥得：1-λ²=（1-λ²）（x+2y），
解得：x+2y-1=0
故点Q总在直线x+2y-1=0上．

点评：本题考查的知识要点：分点坐标公式的应用及相关的运算问题．属于基础题型．