Question

14．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，点P在椭圆上，O为坐标原点，若|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|，且|PF₁|•|PF₂|=a²，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，又|PF₁|•|PF₂|=a²，可得|PF₁|=|PF₂|=a，即P为椭圆的短轴的端点，由条件可得b=c，计算即可得到椭圆的离心率．

解答 解：由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
又|PF₁|•|PF₂|=a²，
可得|PF₁|=|PF₂|=a，即P为椭圆的短轴的端点，
|OP|=b，且|OP|=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|=c，
即有c=b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$，
即为a=$\sqrt{2}$c，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的定义，以及a，b，c的关系，考查运算能力，属于基础题．