Question

2．已知△ABC各顶点的坐标分别为（x_A，y_A），（x_B，y_B），（x_C，y_C），点E，F分别在AC、AB上，AE=$\frac{1}{3}$AC，AF=$\frac{1}{4}$AB，BE、CF交于点D，求D点坐标．

Answer 1

分析 可作出图形，并连接AD，可由C，D，F三点共线得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1-λ}{4}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$，从而同理得出$\overrightarrow{AD}=\frac{1-μ}{3}\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{AB}$，这样根据平面向量基本定理即可得出关于λ，μ的二元一次方程组，可解出$μ=\frac{2}{11}$，从而有$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{11}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AB}$．可设D（x，y），从而可以写出$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{AB}$的坐标，进行向量坐标的数乘和加法运算即可求出$\overrightarrow{AD}$坐标，根据坐标相等便可分别建立关于x，y的一元一次方程，从而可解出x，y，这样便可得出D点的坐标．

解答 解：如图，连接AD；
∵C，D，F三点共线；
∴$\overrightarrow{AD}=（1-λ）\overrightarrow{AF}+λ\overrightarrow{AC}$=$\frac{1-λ}{4}\overrightarrow{AB}+λ\overrightarrow{AC}$；
同理由B，D，E三点共线得：$\overrightarrow{AD}=\frac{1-μ}{3}\overrightarrow{AC}+μ\overrightarrow{AB}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1-μ}{3}}\\{\frac{1-λ}{4}=μ}\end{array}\right.$；
$μ=\frac{2}{11}$；
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{3}{11}\overrightarrow{AC}+\frac{2}{11}\overrightarrow{AB}$；
设D（x，y），$\overrightarrow{AD}=（x-{x}_{A}，y-{y}_{A}），\overrightarrow{AC}=（{x}_{c}-{x}_{A}，{y}_{c}-{y}_{A}）$，$\overrightarrow{AB}=（{x}_{B}-{x}_{A}，{y}_{B}-{y}_{A}）$；
∴（x-x_A，y-y_A）=$（\frac{3{x}_{C}+2{x}_{B}-5{x}_{A}}{11}，\frac{3{y}_{C}+2{y}_{B}-5{y}_{A}}{11}）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-{x}_{A}=\frac{3{x}_{C}+2{x}_{B}-5{x}_{A}}{11}}\\{y-{y}_{A}=\frac{3{y}_{C}+2{y}_{B}-5{y}_{A}}{11}}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3{x}_{C}+2{x}_{B}+6{x}_{A}}{11}}\\{y=\frac{3{y}_{C}+2{y}_{B}+6{y}_{A}}{11}}\end{array}\right.$；
∴D点的坐标为$（\frac{3{x}_{C}+2{x}_{B}+6{x}_{A}}{11}，\frac{3{y}_{C}+2{y}_{B}+6{y}_{A}}{11}）$．

点评 考查三点A，B，C共线时，便可得到$\overrightarrow{OB}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OC}$，根据点的坐标可求向量的坐标，向量坐标的加法和数乘运算，以及平面向量基本定理．