Question

8．已知数列{a_n}的前n项和S_n=3ⁿ+t（n∈N^*），求证：t=-1是{a_n}为等比数列的充要条件．

Answer 1

分析 由等比数列通项公式和前n项和公式的关系，分充分性和必要性两方面来证明可得．

解答 证明：（1）充分性：
当t=-1时，a₁=S₁=3-1=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2×3^n-1．
上式当n=1时也成立，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2×3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3，
即数列{a_n}为等比数列．
（2）必要性：当n=1时，a₁=S₁=3+t．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3^n-1．
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{2×3}^{n}}{2×{3}^{n-1}}$=3
∵{a_n}为等比数列，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{3×2}{3+t}$=3，
∴t=-1．
综上所述，数列{a_n]为等比数列的充要条件是t=-1．

点评 本题考查等比数列的性质和应用，考查充要条件的证明，属中档题．