Question

16．设π＜α＜$\frac{3}{2}$π，cosα=-$\frac{1}{3}$，求sin2α，cos2α，tan2α，sin$\frac{α}{2}$，cos$\frac{α}{2}$，tan$\frac{α}{2}$的值．

Answer 1

分析 由角的范围可得二倍角和半角的范围，由三角函数公式可得．

解答 解：∵π＜α＜$\frac{3}{2}$π，cosα=-$\frac{1}{3}$，
∴sinα=-$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin2α=2sinαcosα=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
cos2α=cos²α-sin²α=-$\frac{7}{9}$，
tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，
又∵π＜α＜$\frac{3}{2}$π，∴$\frac{π}{2}$＜$\frac{α}{2}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin$\frac{α}{2}$＞0，cos$\frac{α}{2}$＜0，
由cosα=2cos²$\frac{α}{2}$-1=-$\frac{1}{3}$可解得cos$\frac{α}{2}$=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴sin$\frac{α}{2}$=$\sqrt{1-co{s}^{2}\frac{α}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴tan$\frac{α}{2}$=$\frac{sin\frac{α}{2}}{cos\frac{α}{2}}$=-$\sqrt{2}$

点评 本题考查三角函数化简求值，涉及二倍角公式和半角公式，属基础题．