Question

1．把函数y=3sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+4cos²x化成y=Asin（ωx+φ）+B的形式，并求出其值域．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的值域，求得函数y的值域．

解答 解：y=3sin²x+$\sqrt{3}$sinxcosx+4cos²x
=cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x$+3
=$\frac{1}{2}（2co{s}^{2}x-1）+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{7}{2}$
=$\frac{1}{2}cos2x+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{7}{2}$
=sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{7}{2}$，
∵$-1≤sin（2x-\frac{π}{2}）≤1$，则$\frac{5}{2}≤y≤\frac{9}{2}$，
∴函数的值域为[$\frac{5}{2}$，$\frac{9}{2}$]．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的值域，属于基础题．