Question

11．已知数列{a_n}满足a₁=-1，a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，可得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）^{n-1}$（n≥2），然后利用累加法及等比数列的前n项和求得a_n．

解答 解：由a_n=3a_n-1+2^n-1（n≥2），
得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）^{n-1}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{{3}^{1}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）$，
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）^{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=\frac{1}{3}（\frac{2}{3}）^{n-1}$（n≥2），
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}+\frac{1}{3}[\frac{2}{3}+（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{2}{3}）^{3}+…+（\frac{2}{3}）^{n-1}]$
=$-\frac{1}{3}+$$\frac{1}{3}×\frac{\frac{2}{3}（1-（\frac{2}{3}）^{n-1}）}{1-\frac{2}{3}}$=$-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}-（\frac{2}{3}）^{n}=\frac{1}{3}-（\frac{2}{3}）^{n}$，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}-{2}^{n}$（n≥2），
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}={3}^{n-1}-{2}^{n}$．

点评 本题考查数列递推式，训练了累加法求数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和公式，是中档题．